vision estereo

El t´ermino est´ereo en visi´on se utiliza cuando existe m´as de una vista de
una escena. Est´ereo, del griego ¾¿ ²½²o, significa s´olido, que en este caso se
relaciona con la idea de tridimensionalidad. A trav´es de varias im´agenes de
una escena, tomadas desde distintos puntos de vista, se puede tener la idea
de las caracter´ısticas tridimensionales de la escena en estudio.
En este cap´ıtulo se estudiar´an las relaciones algebraicas y geom´etricas que existen
cuando se ha tomado m´as de una vista de una escena. Se pondr´a ´enfasis
en el an´alisis de dos y tres vas, geometr´ıa bifocal y trifocal respectivamente.
Sin embargo, al final del cap´ıtulo se expondr´a s´olo a manera de introducci´on
la geometr´ıa quadrifocal y de N vistas.
4.1. An´alisis Bifocal
En el an´alisis bifocal se tiene un sistema de visi´on con dos c´amaras, o bien
una sola c´amara que toma dos im´agenes del objeto de estudio en dos tiempos
distintos, suponiendo que en ese tiempo la c´amara o el objeto se han movido.
Para efectos de simplificaci´on de la exposici´on del problema se estudiar´a la
configuraci´on de dos c´amaras que toman al mismo tiempo una imagen del
objeto de estudio. Sin embargo, con la teor´ıa expuesta en este cap´ıtulo se
puede deducir la soluci´on al problema de dos vistas distintas con una sola
camara

La geometr´ıa de dos vistas es conocida como la Geometr´ıa Epipolar. El t´ermino
epipolar viene del griego epi (`²¼¶) que significa sobre, encima, y polos
(¼´o¸o&) cuyo significado es punto de atracci´on o uno de los dos puntos de
una esfera que son intersectados por su eje de rotaci´on. La Geometr´ıa Epipolar
lleva este nombre porque, como se ver´a m´as adelante, a cada una de las
dos im´agenes se le asocia un epipolo.
La geometr´ıa de dos vistas es presentada en la Figura 4.1. Un punto 3D M
es visto en las dos im´agenes como m1 y m2 (ver Figura 4.1a). Como se estudi
´o en el cap´ıtulo anterior, la imagen es definida como la proyecci´on del
espacio 3D en un plano de imagen 2D por medio de un centro ´optico. Los
centros ´opticos en este caso son C1 y C2. A partir de m1 solamente no se
puede saber exactamente la ubicaci´on exacta de M, ya que en el proceso
de proyecci´on se ha perdido la informaci´on de profundidad. Sin embargo, se
puede afirmar que M debe estar en el rayo que nace en el centro ´optico C1
para forma m1, es decir, M pertenece a la recta hm1;C1i. Esta situaci´on es
mostrada en la Figura 4.1b, donde varios puntos (M incluido) pertenecientes
a la recta hm1;C1i pueden ser los que forman el punto m1 en la primera
imagen. Si a partir de m1 se desea conocer la ubicaci´on de m2 es necesario
entonces proyectar en la imagen 2 los posibles puntos que pueden formar
m1 (ver Figura 4.1c). Se observa que m2 es uno de estos puntos proyectados,
sin embargo a partir de m1 solamente no se puede saber la ubicaci´on
exacta de m2, s´olo se puede afirmar que m2 pertenece a la proyecci´on de la
recta hm1;C1i realizada por el segundo centro ´optico C2 en la imagen 2. La
proyecci´on de esta recta, se denomina l´ınea epipolar; la restricci´on epipolar se˜nala que para que m1 y m2 sean puntos correspondientes, el punto m2 debe estar en la l´ınea epipolar de m1. Esto no quiere decir que todos los puntos en la l´ınea epipolar de m1 son correspondientes a m1, ya
que como bien se puede observar de la Figura 4.1 s´olo un punto en la imagen
2 es correspondiente a m1, y en este caso es la proyecci´on de M en la segunda
imagen. La restricci´on epipolar es entonces una condici´on necesaria, mas no
suficiente. A pesar de que no sea una condici´on suficiente, es de gran utilidad
saber que el punto correspondiente a m1 en la segunda imagen est´a sobre
una l´ınea y no est´a ubicado en cualquier parte de la imagen. Esto representa
una reducci´on considerable en la dimensionalidad del problema de b´usqueda
de puntos correspondientes, ya que en vez de buscar en toda la imagen 2 (de
dos dimensiones) se busca s´olo a lo largo de una l´ınea (una dimensi´on). A
manera de ejemplo, si la segunda imagen tiene N £N p´ıxels, la b´usqueda de
correspondencia se realiza s´olo en N p´ıxels de la imagen y no en N2 p´ıxels.
Una segunda representaci´on de la Geometr´ıa Epipolar se aprecia en la Figura
4.2, en la que los planos de imagen est´an entre los centros ´opticos y el
punto 3D M. Al igual que en la representaci´on anterior, las proyecciones de
M son m1 y m2 en la primera y segunda imagen respectivamente. En esta
configuraci´on se observa tambi´en el mismo fen´omeno: a partir de m1 no
se sabe exactamente d´onde est´a ubicado el punto 3D M, s´olo se sabe que
se encuentra en alg´un punto de la recta que pasa por los puntos m1 y C1.
Los posibles puntos correspondientes a m2 en la segunda imagen se obtienen
entonces mediante la proyecci´on de esta recta por el centro ´optico C2 en la
segunda imagen. Esta recta en la imagen 2 es la l´ınea epipolar l2.
epipolos

De manera an´aloga, si se desea buscar los posibles puntos correspondientes
a m2 en la primera imagen se obtiene una recta epipolar l1 definida como la
proyecci´on realizada por C1 de la recta que contiene los puntos C2 y m2 en
el plano de la primera imagen.
A continuaci´on se define el plano epipolar ¼, como el plano que contiene los
puntos C1, C2 y M. Se observa que el plano epipolar contiene tambi´en los
puntos m1 y m2, y sus l´ıneas epipolares l1 y l2, las que se pueden definir
entonces como las intersecciones del plano epipolar con los planos de imagen,
es decir:
l1 = ¼ \ R1
l2 = ¼ \ R2
(4.1)
Si se desea estudiar la Geometr´ıa Epipolar de un nuevo punto 3D M0 (que
no este en el plano ¼), se observa que en este sistema bifocal, en el que la
ubicaci´on de los planos de imagen (R1 y R2) y los centros ´opticos (C1 y C2)
no ha cambiado, existe un nuevo plano epipolar ¼0, como se muestra en la
Figura 4.3. De acuerdo a la definici´on dada, ¼0 contiene los puntos C1, C2 y
M0. Para este nuevo punto M0, existen las proyecciones m01 y m02, definidas
como las proyecciones deM0 en las im´agenes 1 y 2 respectivamente, y tambi´en
existen sus l´ıneas epipolares l01 y l02, definidas como las intersecciones del plano
epipolar ¼0 con los planos de imagen R1 y R2. Se observa que los planos ¼
y ¼0 contienen no s´olo los puntos C1 y C2, sino que todos los puntos que
est´an en la recta hC1;C2i, conocida como la l´ınea base. De esta afirmaci´on se
puede deducir una propiedad muy importante de las l´ıneas epipolares. Como
las l´ıneas epipolares se definen como la intersecci´on de los planos epipolares
con los planos de imagen, se obtiene entonces que todas las l´ıneas epipolares
en una imagen poseen un punto en com´un, conocido como el epipolo, definido
como la intersecci´on de la l´ınea base con su plano de imagen:
e1 = hC1;C2i \ R1
e2 = hC1;C2i \ R2
4.1.1. An´alisis geom´etrico de dos vistas
En el Cap´ıtulo 3 se logr´o establecer una transformaci´on proyectiva de un
punto 3D M a un punto 2D m. Este punto m se defini´o como la proyecci´on
M en el plano de imagen. Dependiendo del sistema de coordenadas en que
est´an representados M y m se obtiene una ecuaci´on como la presentada
en (3.13). En t´erminos generales, se puede afirmar que si la representaci´on
homog´enea de M es M = [X Y Z 1]T y de m es m = [x y 1]T se puede
escribir
¸m = AM (4.3)
donde A, denominada la matriz de proyecci´on general, es en una matriz de
3 £ 4 elementos, encargada de convertir el punto 3D M en la proyecci´on 2D
m1.
Para dos vistas se tiene entonces el punto 3D M que es visto como m1 y m2
en la imagen 1 y 2 respectivamente. Como para cada imagen hay una matriz
de proyecci´on se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
(
¸1m1 = AM
¸2m2 = BM
(4.4)
donde A y B son las matrices de proyecci´on de las im´agenes 1 y 2 respectivamente,
y m1 y m2 son las representaciones homog´eneas de m1 y m2. Las
coordenadas de M en ambas ecuaciones est´an refeidas al mismo sistema de
coordenadas.
A continuaci´on se buscar´a una expresi´on matem´atica para l2, la l´ınea epipolar
de m1 en la segunda imagen a partir de m1, A y B. Como se mencion´o en la
introducci´on anterior, la l´ınea epipolar l2 es la proyecci´on del rayo hC1;m1i en la segunda imagen. Este rayo queda definido por dos puntos en el espacio
3D. El primero de ellos es C1 cuyas representaci´on homog´enea utilizando las
coordenadas en el sistema de coordenadas en que esta dado el punto 3D ser´ıa
1Es necesario observar que en (3.13) la matriz A equivale a KPS0, sin embargo, los
puntos 3D y 2D han sido representados como M0 y w respectivamente.
4. Visi´on Est´ereo 59
C1. Otro punto que est´a presente en el rayo hC1;m1i es M sin embargo sus
coordenadas son desconocidas. Las coordenadas de m1 est´an dadas en un
plano, no en el espacio 3D, sin embargo se puede calcular a partir de m1 un
punto M+ que est´a en el rayo:
M+ = A+m1 (4.5)
donde A+ es la pseudo-inversa de A. La pseudo-inversa de A es una matriz
que cumple con la siguiente propiedad:
AA+ = I (4.6)
donde I es una matriz identidad de 3 £ 3 elementos. Debido a que A es de
3 £ 4 elementos la matriz A+ tiene que ser de 4 £ 3. Una expresi´on para la
pseudo-inversa de A es:
A+ = AT[ATA]¡1: (4.7)
Es f´acil comprobar que se cumple AA+ = I. Para demostrar que el punto
M+ definido en (4.5) pertenece al rayo hC1;m1i es necesario verificar si su
proyecci´on en la imagen 1 coincide con m1. Utilizando la primera ecuaci´on
de (4.4), la proyecci´on de este punto ser´ıa:
AM+ = AA+m1 = Im1 = m1 (4.8)
que como se observa coincide con la representaci´on homog´enea de m1. De esta
manera se conocen dos puntos que pertenecen al rayo hC1;m1i: C1 y M+.
Por definici´on, la proyecci´on de C1 en la segunda imagen es e2, el epipolo
de la imagen 2. La proyecci´on de estos puntos en la segunda imagen ser´ıan
entonces e2 (proyecci´on de C1) y m+
2 (proyecci´on deM+). Una representaci´on
homog´enea de estos puntos se obtienen a partir de la segunda ecuaci´on de
(4.4): (
e2 = BC1
m+2 = BM+ : (4.9)
Si la recta epipolar l2 contiene estos dos puntos, se puede decir entonces que
su representaci´on homog´enea queda definida como:
l2 = e2 £m+2 = BC1 £BM+ = BC1 £ BA+m1 (4.10)
A continuaci´on se utilizar´a el concepto de matriz antisim´etrica para encontrar
una expresi´on m´as simple para l2. Dados dos vectores u y v de tres
60 D.Mery: Visi´on Artificial
elementos cada uno, definiendo el vector w como el producto cruz u £ v, se
puede encontrar una matriz [u]£, de 3 £ 3 elementos, denominada la matriz
antisim´etrica de u tal que:
w = u £ v = [u]£v (4.11)
Es f´acil comprobar que si u = [u1 u2 u3]T la matriz antisim´etrica de u es:
[u]£ =
2
64
0 ¡u3 u2
u3 0 ¡u1
¡u2 u1 0
3
75
(4.12)
Utilizando la matriz antisim´etrica de BC1 se obtiene una nueva expresi´on
para l2:
l2 = [BC1]£BA+m1 (4.13)
Definiendo la matriz F de 3 £ 3 elementos como:
F = [BC1]£BA+ (4.14)
se puede expresar la l´ınea epipolar como
l2 = Fm1 (4.15)
Si m2 pertenece a esta recta entonces mT2l2 = 0, o bien
mT2Fm1 = 0 (4.16)
La matriz F es conocida como la Matriz Fundamental y es de gran importancia
para el an´alisis de dos vistas, ya que F es constante para una geometr´ıa
bifocal dada, no depende de m1, m2 ni M. La ecuaci´on (4.16) es conocida
como la restricci´on epipolar y se˜nala que para que dos puntos m1 y m2 sean
correspondientes, deben satisfacer (4.16).
Cabe mencionar que muchas veces las coordenadas de C1 no se conocen, sin
embargo a partir de la matriz de proyecci´on A es posible encontrar C1. Se
sabe que la proyecci´on de C1 en la imagen 1 no est´a definida, y que este
es el ´unico punto del espacio que no puede ser proyectado en el plano de
imagen 1. Por lo tanto se puede se˜nalar que el centro ´optico debe satisfacer
la siguiente ecuaci´on AC1 = [0 0 0]T, ya que el punto [0 0 0]T al tener su
tercera componente igual a cero no est´a definido en el plano de imagen.
4. Visi´on Est´ereo 61
4.1.2. Propiedades de la Matriz Fundamental
La Matriz Fundamental F tiene las siguientes propiedades
i) Las representaciones homog´eneas de las l´ıneas epipolares l1 y l2 se definen
como:
l2 = Fm1
l1 = FTm2
(4.17)
ii) La restricci´on epipolar es
mT2
Fm1 = 0 (4.18)
iii) La matriz F es homog´enea, ya que kF para k 6= 0 tambi´en puede ser
utilizada en los c´alculos anteriores.
iv) El determinate de F es cero, ya que
jFj = j[e2]£BA+j = j[e2]£j jBA+j = 0 (4.19)
La ´ultima igualdad se obtiene debido a que el determinante de una
matriz antisim´etrica es cero, como se puede deducir de (4.12).
v) Como el determinante de F es cero, y F es homog´enea se dice que F
tiene s´olo siete grados de libertad, esto quiere decir que s´olo siete (de
los nueve) elementos de F son linealmente independientes, los otros dos
pueden ser calculados como funci´on de los otros siete.
vi) La matriz F es constante para una geometr´ıa bifocal dada, no depende
de m1, m2 ni M, s´olo depende de sus matrices de proyecci´on A y B.
vii) Los epipolos y la matriz Fundamental est´an relaciones de la siguiente
manera:
Fe1 = 0 y FTe2 = 0; (4.20)
siendo 0 = [0 0 0]T. Estas ecuaciones sirven para calcular los epipolos,
ya que se puede asumir que como e1 y e2 son representaciones
homog´eneas, su tercera componente es uno. La relaci´on anterior se
puede deducir a partir de la condici´on epipolar: si se tiene un punto
m1 cualquiera en la imagen 1, se sabe que su l´ınea epipolar en
la imagen 2 pasa por el epipolo e2, esto quiere decir que se cumple
62 D.Mery: Visi´on Artificial
eT2
Fm1 = 0. Como esta condici´on se cumple siempre para cualquier
m1 entonces se puede afirmar que eT2
F = [0 0 0], o bien FTe2 = 0. El
mismo razonamiento se puede hacer para el epipolo e1, con lo que se
obtiene Fe1 = 0.
4.1.3. An´alisis algebraico de dos vistas
El problema de correspondencia en dos vistas se puede resolver algebraicamente
utilizando los tensores bifocales [14, 18]. A continuaci´on se presenta
detalladamente el an´alisis algebraico de dos vistas.
Las proyecciones de un punto 3D M en dos planos de imagen, imagen 1 e
imagen 2, m1 y m2 respectivamente, tal como se aprecia en la Figura 4.1,
se pueden calcular por medio de la ecuaci´on general de proyecci´on (4.3) utilizando
la matriz de proyecci´on A para la imagen 1 y la matriz de proyecci´on
B para la segunda:

La ´ultima igualdad se obtiene sabiendo que H es regular, entonces HH¡1
es una matriz identidad de 4 £ 4. Como AH¡1 corresponde a las primeras
4. Visi´on Est´ereo 63
tres filas de este resultado se dice que AH¡1 = [I j 0], donde I es una matriz
identidad de 3 £ 3 y 0 = [0 0 0]T.
Mediante la matriz H se hace una transformaci´on del sistema de coordenadas
en el cual se hab´ıa representado el punto M. Se trata de una transformaci´on
proyectiva 3D no Eucl´ıdea. En este nuevo sistema de coordenadas, las coordenadas
de M ahora son representadas homog´eneamente como ˜M. De esta
manera se obtiene una matriz de proyecci´on normalizada para la primera
imagen del tipo ˜A = [I j 0].
Reformulando (4.22) se puede escribir el sistema de ecuaciones:

donde ˜ai y ˜bi corresponden a la fila i de la matriz ˜A y ˜Brespectivamente,
para i = 1; 2; 3.
Bajo la hip´otesis de que m1 y m2 son puntos correspondientes, es decir que
ambos son proyecciones de un mismo punto 3D, existe entonces un punto
M ´unico. En este caso el sistema de ecuaciones (4.24) tiene una soluci´on
no trivial para v. Por lo tanto se puede afirmar que bajo esta hip´otesis de
correspondencia v 6= 0. Se observa que la matriz G es de 6 £ 6 elementos,
por lo tanto una condici´on necesaria y suficiente para la existencia de una
soluci´on no trivial de v es que el rango de G sea 5, o bien, que el determinate
de G sea igual a cero. Es decir
jGj = 0: (4.25)
El determinante de G se puede obtener por medio de la f´ormula de Laplace
[3], en la que jGj se expande como una sumatoria de los elementos de G
de una fila o columna multiplicados por sus respectivos cofactores, lo cual
resulta muy conveniente en matrices que tienen muchos elementos iguales
a cero. Expandiendo jGj a trav´es de la quinta columna en la que est´an los
64 D.Mery: Visi´on Artificial
elementos x1, y1 y 1 (no hay que olvidar que los vectores fila ˜ai y ˜bi tienen
cuatro elementos) se obtiene:
1.4. Restricci´on bifocal pr´actica
En la pr´actica debido a errores en la medici´on y calibraci´on, dos puntos
correspondientes m1 y m2 satisfacen la condici´on epipolar con una probabilidad
muy baja, ya que m2 no est´a exactamente sobre la l´ınea epipolar l,
2La convenci´on de Einstein para la suma de tensores indica que dos tensores que tienen
el mismo ´ındice deben desglosarse, multiplic´andose y sum´andose de la siguiente manera
®i¯i = ®1¯1 + ::: + ®n¯n, siendo n el n´umero de elementos de cada tensor.
66 D.Mery: Visi´on Artificial
sino que est´a muy cerca. Por esta raz´on es necesario utilizar otro criterio de
correspondencia. En la pr´actica se dice que m1 y m2 pueden ser puntos correspondientes
si la distancia m´ınima de m2 a l es menor que una distancia d0.
Esta distancia se calcula a partir de una l´ınea perpendicular a l que pase por
m2 (ver Ejercicio 4.2). De esta manera, se obtiene que la restricci´on epipolar
pr´actica se expresa como [24]:
d = jmT2
q Fm1j
l2
1 + l2
2
< d0: (4.32) 4.2. An´alisis Trifocal En el caso de tener tres vistas de una misma escena, se estudiar´a si los puntos de proyecci´on m1, m2 y m3 en las im´agenes 1, 2 y 3 respectivamente, son puntos correspondientes, es decir si los tres puntos son proyecciones de un mismo punto 3D M. Bas´andose en la geometr´ıa epipolar, se puede afirmar que si se calcula la l´ınea epipolar de m1 y la l´ınea epipolar de m2 en la tercera imagen, m3 debe estar en la intersecci´on de ambas l´ıneas, ya que si m1 y m3 son correspondientes m3 debe estar en la l´ınea epipolar de m1 en la tercera imagen y Como la misma deducci´on se puede hacer para m2, Líneas epipolares M Intersección o o o o C1 C2 C3 I m a g en 1 Im ag en 3 Im a g en 2 m1 m2 m3 Figura 4.4: Geometr´ıa Epipolar para tres vistas. 4. Visi´on Est´ereo 67 entonces m3 debe pertenecer a ambas l´ıneas epipolares, es decir m3 es el punto de intersecci´on de las l´ıneas, tal como se ilustra en la Figura 4.4. La Geometr´ıa Epipolar en tres im´agenes se˜nala entonces que m1, m2 y m3 son puntos correspondientes si m3 coincide con el punto de intersecci´on de las l´ıneas epipolares de m1 y m2 en la tercera imagen [10]. Esta es una condici´on necesaria y suficiente. Sin embargo, el punto de intersecci´on no est´a definido si ambas l´ıneas epipolares son iguales. Lamentablemente esta situaci´on no es poco com´un. Ambas l´ıneas son iguales cuando los planos epipolares ¦13 y ¦23, definidos como los planos que contienen M, C1 y C3, y M, C2 y C3 respectivamente, son iguales. Esto sucede en dos ocasiones: i) cuando los tres centros ´opticos C1, C2 y C3 son colineares; o bien ii) cuando los tres centros ´opticos C1, C2 y C3 no son colineares y m1, m2 y m3 se encuentran sobre el plano definido por los tres centros ´opticos [8, 29]. La primera de ellas ocurre en la pr´actica muy frecuentemente, ya que se obtiene al tomar tres im´agenes con una misma c´amara que se mueve en l´ınea recta. Adem´as de las dos desventajas mencionadas para el uso de la Geometr´ıa Epipolar en tres vistas, hay que se˜nalar que la Geometr´ıa Epipolar no proporciona un m´etodo directo para analizar la correspondencia de tres puntos, ya que es necesario calcular dos l´ıneas epipolares y luego su intersecci´on. 4.2.1. An´alisis algebraico de la geometr´ıa trifocal Una forma de estudiar el problema de la geometr´ıa trifocal es por medio de los tensores trifocales [15, 30], que ser´an presentados a continuaci´on. Mediante los tensores trifocales se puede por una parte evitar las singularidades indicadas anteriormente y por otra parte obtener una soluci´on directa para la correspondencia en tres vistas. Las tres proyecciones de un punto 3D M en las im´agenes 1, 2 y 3, pueden expresarse matem´aticamente, como se hizo en la Secci´on 4.1.3, a partir de la ecuaci´on general de proyecci´on (4.3) utilizando las matrices de proyecci´on A, B y C. La forma can´onica de estas ecuaciones es: Las entidades ˜A, ˜B, ˜M fueron definidas en (4.23).
Se sabe que si m1, m2 y m3 son puntos correspondientes entonces debe existir
una soluci´on para M. Una soluci´on conocida al problema de establecer la
correspondencia se obtiene al reformular el sistema de ecuaciones (4.33) de
la siguiente manera:
donde ˜ai, ˜bi y ˜ci son respectivamente la fila i de las matrices ˜A, ˜B y ˜C.
Planteando la hip´otesis de correspondencia, se puede afirmar que si m1, m2
y m3 son puntos correspondientes, entonces debe existir una soluci´on no
trivial para v. Cabe destacar que G es una matriz de 9 £ 7, es decir su
determinante no est´a definido. Sin embargo si se escogen 7 cualesquiera de
las 9 ecuaciones del sistema (4.34) se obtiene un nuevo sistema de ecuaciones
cuya representaci´on matricial es G7v = 0. Si v 6= 0 entonces el determinante
de G7 debe ser cero. Esto quiere decir que para que exista una soluci´on no
trivial para v todas las submatrices de G formadas a partir de 7 de sus filas,
debe ser cero.
El desarrollo de los subdeterminantes de G a partir de la f´ormula de Laplace,
como se hizo en la Secci´on 4.1.3, lleva a expresiones matem´aticas que dependen
de las coordenadas de los puntos m1, m2 y m3 y valores constantes para
las tres im´agenes que dependen s´olo de las tres matrices de proyecci´on. Estos
valores constantes son los denominados tensores trifocales [14, 18, 19].
En este caso existen 36 posibles submatrices de G obtenidas a partir de la
eliminaci´on de dos de sus filas. Estas submatrices se pueden dividir en dos
tipos, aquellas que tienen s´olo una fila de una matriz de proyecci´on (9 casos)
y aquellas que tienen las tres filas de una matriz de proyecci´on (27 casos).
4. Visi´on Est´ereo 69
A manera de ejemplo, en el primer tipo de submatrices, se obtiene para el
subdeterminante de la matriz G en la que se han eliminado las filas 2 y 3:
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